Flytting Gjennomsnitt Glatting I R

Flytte gjennomsnitts - og eksponensielle utjevningsmodeller Som et første skritt i å bevege seg ut over gjennomsnittlige modeller, kan tilfeldige gangmodeller og lineære trendmodeller, ikke-sone-mønstre og trender ekstrapoleres ved hjelp av en flytende gjennomsnitt eller utglattningsmodell. Den grunnleggende forutsetningen bak gjennomsnittlige og utjevningsmodeller er at tidsseriene er lokalt stasjonære med et sakte varierende middel. Derfor tar vi et flytende (lokalt) gjennomsnitt for å anslå dagens verdi av gjennomsnittet, og deretter bruke det som prognosen for nær fremtid. Dette kan betraktes som et kompromiss mellom den gjennomsnittlige modellen og den tilfeldige-walk-uten-drift-modellen. Den samme strategien kan brukes til å estimere og ekstrapolere en lokal trend. Et glidende gjennomsnitt kalles ofte en quotsmoothedquot-versjon av den opprinnelige serien, fordi kortsiktig gjennomsnittsverdi medfører utjevning av støtene i den opprinnelige serien. Ved å justere graden av utjevning (bredden på det bevegelige gjennomsnittet), kan vi håpe å finne en slags optimal balanse mellom ytelsen til de gjennomsnittlige og tilfeldige turmodellene. Den enkleste typen gjennomsnittlig modell er. Enkel (likevektet) Flytende gjennomsnitt: Værvarselet for verdien av Y på tidspunktet t1 som er laget på tidspunktet t, er det enkle gjennomsnittet av de nyeste m-observasjonene: (Her og andre steder vil jeg bruke symbolet 8220Y-hat8221 til å stå for en prognose av tidsserien Y som ble gjort så tidlig som mulig ved en gitt modell.) Dette gjennomsnittet er sentrert ved period-t (m1) 2, noe som innebærer at estimatet av det lokale middel vil ha en tendens til å ligge bak den sanne verdien av det lokale gjennomsnittet med ca. (m1) 2 perioder. Således sier vi at gjennomsnittsalderen for dataene i det enkle glidende gjennomsnittet er (m1) 2 i forhold til perioden for prognosen beregnes. Dette er hvor lang tid det vil være å prognostisere prognoser bak vendepunkter i dataene . For eksempel, hvis du er i gjennomsnitt de siste 5 verdiene, vil prognosene være omtrent 3 perioder sent i å svare på vendepunkter. Merk at hvis m1, den enkle glidende gjennomsnittlige (SMA) modellen er lik den tilfeldige turmodellen (uten vekst). Hvis m er veldig stor (sammenlignbar med lengden på estimeringsperioden), svarer SMA-modellen til den gjennomsnittlige modellen. Som med hvilken som helst parameter i en prognosemodell, er det vanlig å justere verdien av k for å oppnå den beste kvote kvoten til dataene, dvs. de minste prognosefeilene i gjennomsnitt. Her er et eksempel på en serie som ser ut til å vise tilfeldige svingninger rundt et sakte varierende middel. Først kan vi prøve å passe den med en tilfeldig walk-modell, noe som tilsvarer et enkelt bevegelige gjennomsnitt på 1 sikt: Den tilfeldige turmodellen reagerer veldig raskt på endringer i serien, men i så måte velger den mye av kvotenivået i data (tilfeldige svingninger) samt quotsignalquot (det lokale gjennomsnittet). Hvis vi i stedet prøver et enkelt glidende gjennomsnitt på 5 termer, får vi et smidigere sett med prognoser: Det 5-tiden enkle glidende gjennomsnittet gir betydelig mindre feil enn den tilfeldige turmodellen i dette tilfellet. Gjennomsnittsalderen for dataene i denne prognosen er 3 ((51) 2), slik at den har en tendens til å ligge bak vendepunktene med tre perioder. (For eksempel ser det ut til at en nedtur har skjedd i perioden 21, men prognosene vender seg ikke til flere perioder senere.) Legg merke til at de langsiktige prognosene fra SMA-modellen er en horisontal rettlinje, akkurat som i tilfeldig gang modell. Således antar SMA-modellen at det ikke er noen trend i dataene. Mens prognosene fra den tilfeldige turmodellen ganske enkelt er lik den siste observerte verdien, er prognosene fra SMA-modellen lik et veid gjennomsnitt av de siste verdiene. De konfidensgrenser som beregnes av Statgraphics for de langsiktige prognosene for det enkle glidende gjennomsnittet, blir ikke større da prognoseperioden øker. Dette er åpenbart ikke riktig. Dessverre er det ingen underliggende statistisk teori som forteller oss hvordan konfidensintervallene skal utvide seg for denne modellen. Det er imidlertid ikke så vanskelig å beregne empiriske estimater av konfidensgrensene for lengre horisontprognoser. For eksempel kan du sette opp et regneark der SMA-modellen skulle brukes til å prognose 2 trinn foran, 3 trinn fremover, etc. i den historiske dataprøven. Du kan deretter beregne utvalgsstandardavvikene til feilene i hver prognosehorisont, og deretter konstruere konfidensintervaller for langsiktige prognoser ved å legge til og trekke ut multipler av riktig standardavvik. Hvis vi prøver et 9-sikt enkelt glidende gjennomsnitt, får vi enda jevnere prognoser og mer av en bremseeffekt: Gjennomsnittsalderen er nå 5 perioder (91) 2). Hvis vi tar et 19-årig glidende gjennomsnitt, øker gjennomsnittsalderen til 10: Legg merke til at prognosene nå faller bakom vendepunkter med ca 10 perioder. Hvilken mengde utjevning er best for denne serien Her er et bord som sammenligner feilstatistikken sin, også et gjennomsnitt på tre sikt: Modell C, 5-års glidende gjennomsnitt, gir den laveste verdien av RMSE med en liten margin over 3 term og 9-sikt gjennomsnitt, og deres andre statistikker er nesten identiske. Så, blant modeller med svært like feilstatistikk, kan vi velge om vi foretrekker litt mer respons eller litt mer glatt i prognosene. (Tilbake til toppen av siden.) Browns Simple Exponential Smoothing (eksponentielt vektet glidende gjennomsnitt) Den enkle glidende gjennomsnittsmodellen beskrevet ovenfor har den uønskede egenskapen som den behandler de siste k-observasjonene, like og fullstendig ignorerer alle foregående observasjoner. Intuitivt bør tidligere data diskonteres på en mer gradvis måte - for eksempel bør den siste observasjonen få litt mer vekt enn 2. siste, og den 2. siste skal få litt mer vekt enn den 3. siste, og så videre. Den enkle eksponensielle utjevning (SES) - modellen oppnår dette. La 945 betegne en quotsmoothing constantquot (et tall mellom 0 og 1). En måte å skrive modellen på er å definere en serie L som representerer dagens nivå (dvs. lokal middelverdi) av serien som estimert fra data til nå. Verdien av L ved tid t beregnes rekursivt fra sin egen tidligere verdi slik: Således er den nåværende glattede verdien en interpolering mellom den forrige glattede verdien og den nåværende observasjonen, hvor 945 styrer nærheten til den interpolerte verdien til den nyeste observasjon. Forventningen for neste periode er bare den nåværende glatte verdien: Tilsvarende kan vi uttrykke neste prognose direkte i forhold til tidligere prognoser og tidligere observasjoner, i en hvilken som helst av de tilsvarende versjoner. I den første versjonen er prognosen en interpolasjon mellom forrige prognose og tidligere observasjon: I den andre versjonen blir neste prognose oppnådd ved å justere forrige prognose i retning av den forrige feilen med en brøkdel av 945. Er feilen gjort ved tid t. I den tredje versjonen er prognosen et eksponentielt vektet (dvs. nedsatt) glidende gjennomsnitt med rabattfaktor 1-945: Interpolasjonsversjonen av prognoseformelen er den enkleste å bruke hvis du implementerer modellen på et regneark: det passer inn i en enkeltcelle og inneholder cellehenvisninger som peker på forrige prognose, forrige observasjon og cellen der verdien av 945 er lagret. Merk at hvis 945 1 er SES-modellen tilsvarer en tilfeldig turmodell (uten vekst). Hvis 945 0 er SES-modellen ekvivalent med den gjennomsnittlige modellen, forutsatt at den første glattede verdien er satt lik gjennomsnittet. (Gå tilbake til toppen av siden.) Gjennomsnittsalderen for dataene i prognosen for enkel eksponensiell utjevning er 1 945 i forhold til perioden for prognosen beregnes. (Dette skal ikke være åpenbart, men det kan enkelt vises ved å vurdere en uendelig serie.) Derfor har den enkle, glidende gjennomsnittlige prognosen en tendens til å ligge bak vendepunktene med rundt 1 945 perioder. For eksempel, når 945 0,5 lag er 2 perioder når 945 0.2 lag er 5 perioder når 945 0,1 lag er 10 perioder, og så videre. For en gitt gjennomsnittlig alder (det vil si mengden lag), er prognosen for enkel eksponensiell utjevning (SES) noe bedre enn SMA-prognosen (Simple Moving Average) fordi den legger relativt mer vekt på den siste observasjonen - dvs. det er litt mer quotresponsivequot for endringer som oppstod i den siste tiden. For eksempel har en SMA-modell med 9 vilkår og en SES-modell med 945 0,2 begge en gjennomsnittlig alder på 5 for dataene i prognosene, men SES-modellen legger mer vekt på de siste 3 verdiene enn SMA-modellen og ved Samtidig er det ikke 8220forget8221 om verdier som er mer enn 9 år gamle, som vist i dette diagrammet. En annen viktig fordel ved SES-modellen over SMA-modellen er at SES-modellen bruker en utjevningsparameter som er kontinuerlig variabel, slik at den lett kan optimaliseres ved å bruke en quotsolverquot-algoritme for å minimere den gjennomsnittlige kvadratfeilen. Den optimale verdien av 945 i SES-modellen for denne serien viser seg å være 0,2961, som vist her: Gjennomsnittsalderen for dataene i denne prognosen er 10,2961 3,4 perioder, noe som ligner på et 6-sikt enkelt glidende gjennomsnitt. De langsiktige prognosene fra SES-modellen er en horisontal rett linje. som i SMA-modellen og den tilfeldige turmodellen uten vekst. Vær imidlertid oppmerksom på at konfidensintervallene som beregnes av Statgraphics, divergerer nå på en rimelig måte, og at de er vesentlig smalere enn konfidensintervallene for den tilfeldige turmodellen. SES-modellen antar at serien er noe mer forutsigbar enn den tilfeldige turmodellen. En SES-modell er faktisk et spesielt tilfelle av en ARIMA-modell. slik at den statistiske teorien om ARIMA-modeller gir et solid grunnlag for beregning av konfidensintervall for SES-modellen. Spesielt er en SES-modell en ARIMA-modell med en ikke-sesongforskjell, en MA (1) og ikke en konstant periode. ellers kjent som en quotARIMA (0,1,1) modell uten constantquot. MA (1) - koeffisienten i ARIMA-modellen tilsvarer mengden 1-945 i SES-modellen. For eksempel, hvis du passer på en ARIMA (0,1,1) modell uten konstant til serien analysert her, viser den estimerte MA (1) - koeffisienten seg å være 0,7029, som er nesten nøyaktig en minus 0,2961. Det er mulig å legge til antagelsen om en konstant lineær trend uten null som en SES-modell. For å gjøre dette oppgir du bare en ARIMA-modell med en ikke-sesongforskjell og en MA (1) - sikt med en konstant, dvs. en ARIMA-modell (0,1,1) med konstant. De langsiktige prognosene vil da ha en trend som er lik den gjennomsnittlige trenden observert over hele estimeringsperioden. Du kan ikke gjøre dette i forbindelse med sesongjustering, fordi sesongjusteringsalternativene er deaktivert når modelltypen er satt til ARIMA. Du kan imidlertid legge til en konstant langsiktig eksponensiell trend for en enkel eksponensiell utjevningsmodell (med eller uten sesongjustering) ved å bruke inflasjonsjusteringsalternativet i prognoseprosedyren. Den aktuelle kvoteringskvoten (prosentvekst) per periode kan estimeres som hellingskoeffisienten i en lineær trendmodell som er montert på dataene i forbindelse med en naturlig logaritme transformasjon, eller det kan være basert på annen uavhengig informasjon om langsiktige vekstutsikter . (Tilbake til toppen av siden.) Browns Lineær (dvs. dobbel) Eksponensiell utjevning SMA-modellene og SES-modellene antar at det ikke er noen trend av noe slag i dataene (som vanligvis er OK eller i det minste ikke altfor dårlig for 1- trinnvise prognoser når dataene er relativt støyende), og de kan modifiseres for å inkorporere en konstant lineær trend som vist ovenfor. Hva med kortsiktige trender Hvis en serie viser en varierende vekstnivå eller et syklisk mønster som skiller seg tydelig ut mot støyen, og hvis det er behov for å prognose mer enn 1 periode framover, kan estimering av en lokal trend også være et problem. Den enkle eksponensielle utjevningsmodellen kan generaliseres for å oppnå en lineær eksponensiell utjevning (LES) modell som beregner lokale estimater av både nivå og trend. Den enkleste tidsvarierende trendmodellen er Browns lineær eksponensiell utjevningsmodell, som bruker to forskjellige glatte serier som er sentrert på forskjellige tidspunkter. Forutsigelsesformelen er basert på en ekstrapolering av en linje gjennom de to sentrene. (En mer sofistikert versjon av denne modellen, Holt8217s, blir diskutert nedenfor.) Den algebraiske form av Brown8217s lineær eksponensiell utjevningsmodell, som den enkle eksponensielle utjevningsmodellen, kan uttrykkes i en rekke forskjellige, men liknende former. Denne standardmodellen er vanligvis uttrykt som følger: La S betegne den enkeltglattede serien som er oppnådd ved å anvende enkel eksponensiell utjevning til serie Y. Dvs. verdien av S ved period t er gitt av: (Husk at, under enkle eksponensiell utjevning, dette ville være prognosen for Y ved periode t1.) Lad deretter Squot betegne den dobbeltslettede serien oppnådd ved å anvende enkel eksponensiell utjevning (ved hjelp av samme 945) til serie S: Endelig prognosen for Y tk. for noe kgt1, er gitt av: Dette gir e 1 0 (det vil si lure litt, og la den første prognosen være den samme første observasjonen) og e 2 Y 2 8211 Y 1. hvoretter prognosene genereres ved å bruke ligningen ovenfor. Dette gir de samme monterte verdiene som formelen basert på S og S dersom sistnevnte ble startet med S 1 S 1 Y 1. Denne versjonen av modellen brukes på neste side som illustrerer en kombinasjon av eksponensiell utjevning med sesongjustering. Holt8217s Lineær eksponensiell utjevning Brown8217s LES-modell beregner lokale estimater av nivå og trend ved å utjevne de siste dataene, men det faktum at det gjør det med en enkelt utjevningsparameter, stiller en begrensning på datamønstrene som den kan passe: nivået og trenden er ikke tillatt å variere til uavhengige priser. Holt8217s LES-modellen løser dette problemet ved å inkludere to utjevningskonstanter, en for nivået og en for trenden. Til enhver tid t, som i Brown8217s modell, er det et estimat L t på lokalt nivå og et estimat T t av den lokale trenden. Her beregnes de rekursivt fra verdien av Y observert ved tid t og de forrige estimatene av nivået og trenden ved to likninger som gjelder eksponensiell utjevning til dem separat. Hvis estimert nivå og trend ved tid t-1 er L t82091 og T t-1. henholdsvis, da var prognosen for Y tshy som ville vært gjort på tidspunktet t-1, lik L t-1 T t-1. Når den faktiske verdien er observert, beregnes det oppdaterte estimatet av nivået rekursivt ved å interpolere mellom Y tshy og dens prognose, L t-1 T t 1, med vekt på 945 og 1- 945. Forandringen i estimert nivå, nemlig L t 8209 L t82091. kan tolkes som en støyende måling av trenden på tidspunktet t. Det oppdaterte estimatet av trenden beregnes deretter rekursivt ved å interpolere mellom L t 8209 L t82091 og det forrige estimatet av trenden, T t-1. ved bruk av vekter av 946 og 1-946: Fortolkningen av trend-utjevningskonstanten 946 er analog med den for nivåutjevningskonstanten 945. Modeller med små verdier på 946 antar at trenden bare endrer seg veldig sakte over tid, mens modeller med større 946 antar at det endrer seg raskere. En modell med en stor 946 mener at den fjerne fremtiden er veldig usikker, fordi feil i trendberegning blir ganske viktig når det regnes med mer enn en periode framover. (Tilbake til toppen av siden.) Utjevningskonstantene 945 og 946 kan estimeres på vanlig måte ved å minimere gjennomsnittlig kvadratfeil i de 1-trinns prognosene. Når dette gjøres i Statgraphics, viser estimatene seg å være 945 0.3048 og 946 0.008. Den svært små verdien av 946 betyr at modellen tar svært liten endring i trenden fra en periode til den neste, så i utgangspunktet prøver denne modellen å estimere en langsiktig trend. I analogi med begrepet gjennomsnittlig alder av dataene som brukes til å estimere det lokale nivået i serien, er gjennomsnittsalderen for dataene som brukes til estimering av lokal trenden, proporsjonal med 1 946, men ikke akkurat lik den . I dette tilfellet viser det seg å være 10 006 125. Dette er et svært nøyaktig tall, forutsatt at nøyaktigheten av estimatet av 946 er virkelig 3 desimaler, men det er av samme generelle størrelsesorden som prøvestørrelsen på 100, så denne modellen er i gjennomsnitt over ganske mye historie i estimering av trenden. Prognoseplanet nedenfor viser at LES-modellen anslår en litt større lokal trend i slutten av serien enn den konstante trenden som er estimert i SEStrend-modellen. Også den estimerte verdien på 945 er nesten identisk med den som oppnås ved å montere SES-modellen med eller uten trend, så dette er nesten den samme modellen. Nå ser disse ut som rimelige prognoser for en modell som skal estimere en lokal trend. Hvis du 8220eyeball8221 ser dette, ser det ut som om den lokale trenden har vendt nedover på slutten av serien. Hva har skjedd Parametrene til denne modellen har blitt estimert ved å minimere den kvadriske feilen på 1-trinns prognoser, ikke langsiktige prognoser, i hvilket tilfelle trenden gjør ikke en stor forskjell. Hvis alt du ser på er 1-trinns feil, ser du ikke det større bildet av trender over (si) 10 eller 20 perioder. For å få denne modellen mer i tråd med øyehals ekstrapoleringen av dataene, kan vi manuelt justere trendutjevningskonstanten slik at den bruker en kortere basislinje for trendestimering. Hvis vi for eksempel velger å sette 946 0,1, er gjennomsnittsalderen for dataene som brukes til å estimere den lokale trenden 10 perioder, noe som betyr at vi gjennomsnittsverdi trenden over de siste 20 perioder eller så. Here8217s hva prognosen tomten ser ut hvis vi setter 946 0,1 mens du holder 945 0.3. Dette ser intuitivt fornuftig ut på denne serien, selv om det er sannsynlig farlig å ekstrapolere denne trenden mer enn 10 perioder i fremtiden. Hva med feilstatistikken Her er en modell sammenligning for de to modellene vist ovenfor, samt tre SES-modeller. Den optimale verdien av 945. For SES-modellen er ca. 0,3, men tilsvarende resultater (med henholdsvis litt mer responstid) oppnås med 0,5 og 0,2. (A) Holts lineær eksp. utjevning med alfa 0,3048 og beta 0,008 (B) Holts lineær eksp. utjevning med alfa 0,3 og beta 0,1 (C) Enkel eksponensiell utjevning med alfa 0,5 (D) Enkel eksponensiell utjevning med alfa 0,3 (E) Enkel eksponensiell utjevning med alfa 0,2 Deres statistikk er nesten identisk, slik at vi virkelig kan velge på grunnlag av 1-trinns prognosefeil i dataprøven. Vi må falle tilbake på andre hensyn. Hvis vi sterkt tror at det er fornuftig å basere dagens trendoverslag på hva som har skjedd i løpet av de siste 20 perioder eller så, kan vi gjøre en sak for LES-modellen med 945 0,3 og 946 0,1. Hvis vi ønsker å være agnostiker om det er en lokal trend, kan en av SES-modellene være enklere å forklare, og vil også gi mer mid-of-the-road prognoser for de neste 5 eller 10 periodene. (Tilbake til toppen av siden.) Hvilken type trend-ekstrapolering er best: Horisontal eller lineær Empirisk bevis tyder på at hvis dataene allerede er justert (om nødvendig) for inflasjon, kan det være uhensiktsmessig å ekstrapolere kortsiktig lineær trender veldig langt inn i fremtiden. Trender som tyder på i dag, kan løsne seg i fremtiden på grunn av ulike årsaker som forverring av produkt, økt konkurranse og konjunkturnedganger eller oppgang i en bransje. Av denne grunn utfører enkel eksponensiell utjevning ofte bedre ut av prøven enn det ellers kunne forventes, til tross for sin kvadratiske kvadratiske horisontal trend-ekstrapolering. Dampede trendmodifikasjoner av den lineære eksponensielle utjevningsmodellen brukes også i praksis til å introdusere en konservatismeddel i sine trendprognoser. Den demonstrede LES-modellen kan implementeres som et spesielt tilfelle av en ARIMA-modell, spesielt en ARIMA-modell (1,1,2). Det er mulig å beregne konfidensintervall rundt langsiktige prognoser produsert av eksponentielle utjevningsmodeller, ved å betrakte dem som spesielle tilfeller av ARIMA-modeller. (Pass på: ikke alle programmer beregner konfidensintervaller for disse modellene riktig.) Bredden på konfidensintervaller avhenger av (i) RMS-feilen i modellen, (ii) type utjevning (enkel eller lineær) (iii) verdien (e) av utjevningskonstanten (e) og (iv) antall perioder fremover du forutsetter. Generelt sprer intervallene raskere da 945 blir større i SES-modellen, og de sprer seg mye raskere når lineær snarere enn enkel utjevning brukes. Dette emnet blir diskutert videre i ARIMA-modellene i notatene. (Tilbake til toppen av siden.) R - Forutsetninger til prognoser for å redigere ARIMA (AutoRegresive Integrated Moving Average) ETS (Eksponentiell utjevningstilstandsrommodell) Vi diskuterer hvordan disse metodene fungerer og hvordan de skal brukes. Forventet pakkeoversikt rediger Eksponensiell utjevning Rediger navn AKA: eksponentielt vektet glidende gjennomsnitt (EWMA) Tilsvarer ARIMA (0,1,1) modell uten konstant term Brukes til glatt data for presentasjon gjør prognoser enkelt glidende gjennomsnitt: Tidligere observasjoner vektes like eksponentielt utjevning: tilordner eksponentielt avtagende vekter over tid Formel xt - rå datasekvens st - utdata fra eksponentiell utjevningsalgoritme (estimat for neste verdi av x) - utjevningsfaktor. 0160lt160160lt1601.Velgende rettighet ingen formell måte å velge statistisk teknikk på, kan brukes til å optimalisere verdien av (f. eks. OLS), jo større blir det nært til naiv prognoser (de samme porter som originalserier med en periodeforsinkelse). Dobbel eksponensiell utjevning rediger Enkel eksponensiell utjevning gjør det ikke bra når det er en trend (det vil alltid være forspenning) Dobbel eksponensiell utjevning er en gruppe metoder som håndterer problemet Holt-Winters dobbelt eksponensiell utjevning redigering Og for t gt 1 av hvor er datautjevningsfaktoren. 0160lt160160lt1601, og er trendutjevningsfaktoren. 0160lt160160lt1601. Output F tm - et estimat av verdien av x på tidspunktet tm, mgt0 basert på rå data opp til tid t Tredobbelt eksponensiell utjevning rediger tar hensyn til sesongmessige endringer samt trender først foreslått av Holts student, Peter Winters, i 1960 Input xt - rå datasekvens av observasjoner t 1601600 L lengde en syklus med sesongmessig endring Metoden beregner: en trendlinje for datasesongsindeksene som vekterer verdiene i trendlinjen basert på hvor tidspunktet faller i lengdecyklusen L. s t representerer den glatte verdien av den konstante delen for tiden t. bt representerer sekvensen av beste estimater av den lineære trenden som legges over på sesongmessige endringer ct er sekvensen av sesongmessige korreksjonsfaktorer ct er den forventede andelen av den forutsagte trenden når som helst t mod L i syklusen som observasjonene tar på initialiser sesongens indekser c tL det må være minst en komplett syklus i dataene. Algoritmens utgang skrives igjen som F tm. et estimat av verdien av x på tidspunktet tm, mgt0 basert på rå data opp til tid t. Tredobbelt eksponensiell utjevning er gitt av formlene hvor datautjevningsfaktoren er. 0160lt160160lt1601, er trendutjevningsfaktoren. 0160lt160160lt1601, og er sesongmessig forandringsutjevningsfaktor. 0160lt160160lt1601. Den generelle formelen for innledende trendestimat b 0 er: Stille inn de første estimatene for sesongindeksene c i for 1,2. L er litt mer involvert. Hvis N er antall komplette sykluser som er tilstede i dataene dine, så: Merk at A j er gjennomsnittsverdien av x i j t-syklusen til dataene dine. ETS-redigering Overordnede parametere redigere 8.4 Flytte gjennomsnittlige modeller I stedet for å bruke tidligere verdier av prognosen variabel i en regresjon, bruker en bevegelig gjennomsnittlig modell forbigående feil i en regresjonslignende modell. y c et theta e theta e dots theta e, hvor et er hvit støy. Vi refererer til dette som en MA (q) modell. Selvfølgelig observerer vi ikke verdiene til et, så det er ikke egentlig regresjon i vanlig forstand. Legg merke til at hver verdi av yt kan betraktes som et vektet glidende gjennomsnitt av de siste prognosefeilene. Imidlertid bør bevegelige gjennomsnittsmodeller ikke forveksles med flytende gjennomsnittsutjevning som vi diskuterte i kapittel 6. En flytende gjennomsnittsmodell brukes til å prognostisere fremtidige verdier mens flytende gjennomsnittsutjevning brukes til å estimere utviklingscyklusen til tidligere verdier. Figur 8.6: To eksempler på data fra bevegelige gjennomsnittsmodeller med forskjellige parametere. Venstre: MA (1) med y t 20e t 0.8e t-1. Høyre: MA (2) med y t e t-e t-1 0.8e t-2. I begge tilfeller er e t normalt distribuert hvit støy med gjennomsnittlig null og varians en. Figur 8.6 viser noen data fra en MA (1) modell og en MA (2) modell. Endring av parametrene theta1, prikker, thetaq resulterer i forskjellige tidsseriemønstre. Som med autoregressive modeller, vil variansen av feilbegrepet et bare endre omfanget av serien, ikke mønstrene. Det er mulig å skrive en stasjonær AR (p) modell som en MA (infty) modell. For eksempel ved bruk av gjentatt substitusjon, kan vi demonstrere dette for en AR (1) - modell: begynnelse og forsterkning og forsterkning (phi1y e) og forsterkning av phi1 og et phi13y phi12e phi1e og amplitud ende Forutsatt -1 lt phi1 lt 1, verdien av phi1k blir mindre etter hvert som k blir større. Så til slutt får vi yt og phi1 phi12 e phi13 e cdots, en MA (infty) prosess. Det motsatte resultatet holder seg dersom vi legger inn noen begrensninger på MA parametrene. Så kalles MA-modellen inverterbar. Det vil si at vi kan skrive en omvendt MA (q) prosess som en AR (infty) prosess. Invertible modeller er ikke bare å gjøre det mulig for oss å konvertere fra MA-modeller til AR-modeller. De har også noen matematiske egenskaper som gjør dem enklere å bruke i praksis. Invertibilitetsbegrensningene ligner stasjonære begrensninger. For en MA (1) modell: -1lttheta1lt1. For en MA (2) modell: -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1-teteta1 1. Mer kompliserte forhold holder for qge3. Igjen vil R ta vare på disse begrensningene når vi estimerer modellene. Bruke R for Time Series Analysis Time Series Analysis Dette heftet forteller deg hvordan du bruker R statistisk programvare for å utføre noen enkle analyser som er vanlige når du analyserer tidsseriedata. Dette heftet antar at leseren har noen grunnleggende kunnskaper om tidsserieanalyse, og hovedfokuset i heftet er ikke å forklare tidsserieanalyse, men heller å forklare hvordan man utfører disse analysene ved hjelp av R. Hvis du er ny i tidsserier analyse, og ønsker å lære mer om noen av konseptene som presenteres her, vil jeg anbefale Open University-boken 8220Time series8221 (produktkode M24902), tilgjengelig fra Open University Shop. I dette heftet bruker jeg tidsseriedatasett som har blitt gjort tilgjengelig av Rob Hyndman i hans tidsserier databibliotek på robjhyndmanTSDL. Hvis du liker dette hefte, kan du også sjekke ut brosjyren min ved å bruke R for biomedisinsk statistikk, litt-book-of-r-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. og min hefte på å bruke R for multivariate analyse, little-book-of-r-for-multivariate-analysis. readthedocs. org. Les tidsseriedata Det første du vil gjøre for å analysere tidsseriedataene dine, er å lese det inn i R, og å plotte tidsserien. Du kan lese data inn i R ved hjelp av skanningsfunksjonen (), som forutsetter at dataene dine for suksessive tidspunkter er i en enkel tekstfil med en kolonne. For eksempel inneholder filen robjhyndmantsdldatamisckings. dat data om dødsårsaken til suksessive konger i England, som begynner med William the Conqueror (original kilde: Hipel og Mcleod, 1994). Datasettet ser slik ut: Bare de første linjene i filen har blitt vist. De tre første linjene inneholder noen kommentarer til dataene, og vi vil ignorere dette når vi leser dataene inn i R. Vi kan bruke dette ved å bruke 8220skip8221-parameteren i skanningsfunksjonen (), som angir hvor mange linjer øverst på filen å ignorere. For å lese filen til R, ignorerer de tre første linjene, skriver vi: I dette tilfellet er dødsaldoen til 42 påfølgende konger i England blitt lest inn i variabelen 8216kings8217. Når du har lest tidsseriedataene i R, er neste trinn å lagre dataene i en tidsserieobjekt i R, slik at du kan bruke R8217s mange funksjoner for å analysere tidsseriedata. For å lagre dataene i en tidsserieobjekt, bruker vi ts () - funksjonen i R. For eksempel, for å lagre dataene i variabelen 8216kings8217 som en tidsserieobjekt i R, skriver vi: Noen ganger angir du dataserierdataene du kan ha blitt samlet inn med jevne mellomrom som var mindre enn ett år, for eksempel månedlig eller kvartalsvis. I dette tilfellet kan du angi antall ganger dataene ble samlet inn per år ved å bruke 8216frequency8217-parameteren i ts () - funksjonen. For månedlige tidsseriedata angir du frekvens12, mens du for kvartalsvise tidsseriedata, stiller du frekvens4. Du kan også angi det første året som dataene ble samlet inn, og det første intervallet i det året ved å bruke parameteren 8216start8217 i ts () - funksjonen. For eksempel, hvis det første datapunktet tilsvarer andre kvartal 1986, ville du sette startc (1986,2). Et eksempel er et datasett av antall fødsler per måned i New York City, fra januar 1946 til desember 1959 (opprinnelig innsamlet av Newton). Disse dataene er tilgjengelige i filen robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Vi kan lese dataene i R, og lagre den som en tidsserieobjekt ved å skrive: På samme måte inneholder filen robjhyndmantsdldatadatafancy. dat månedlig salg til en suvenirbutikk på en strandby i Queensland, Australia, for januar 1987-desember 1993 (originale data fra Wheelwright og Hyndman, 1998). Vi kan lese dataene inn i R ved å skrive: Plotting Time Series Når du har lest en tidsserie i R, er det neste trinnet vanligvis å lage et plott av tidsseriedataene, som du kan gjøre med plot. ts () - funksjonen i R. For eksempel, for å plotte tidsserier av dødsaldoen til 42 påfølgende konger i England, skriver vi: Vi kan se fra tidsplanen at denne tidsseriene nok kunne beskrives ved hjelp av en additivmodell, siden tilfeldige svingninger i dataene er omtrent konstant i størrelse over tid. På samme måte, for å plotte tidsserier av antall fødsler per måned i New York City, skriver vi: Vi kan se fra denne tidsserien at det ser ut til å være sesongvariasjon i antall fødsler per måned: det er en topp hver sommer , og en trough hver vinter. Igjen ser det ut til at denne tidsserien trolig kunne beskrives ved hjelp av en additiv modell, da sesongmessige svingninger er omtrent konstant i størrelse over tid og synes ikke å avhenge av tidsserien, og tilfeldige svingninger synes også å være omtrent konstant i størrelse over tid. På samme måte, for å plotte tidsserien til det månedlige salget til souvenirbutikken på en strandbyby i Queensland, Australia, skriver vi: I dette tilfellet ser det ut til at en additivmodell ikke passer for å beskrive denne tidsserien, siden størrelsen av sesongmessige svingninger og tilfeldige svingninger synes å øke med nivået av tidsseriene. Dermed må vi kanskje forandre tidsserien for å få en transformert tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additivmodell. For eksempel kan vi forandre tidsserien ved å beregne den naturlige loggen til de opprinnelige dataene: Her ser vi at størrelsen på sesongmessige svingninger og tilfeldige svingninger i de loggformede tidsseriene ser ut til å være omtrent konstant over tid og gjøre ikke avhengig av tidsserienivået. Dermed kan de log-transformerte tidsseriene trolig bli beskrevet ved hjelp av en additivmodell. Dekomponeringstidsserie Avkomponering av en tidsserie betyr å skille den inn i komponentene, som vanligvis er en trendkomponent og en uregelmessig komponent, og hvis det er en sesongmessig tidsserie, en sesongbestemt komponent. Dekomponering av ikke-sesongdata En ikke-sesongmessig tidsserie består av en trendkomponent og en uregelmessig komponent. Nedbrytning av tidsseriene innebærer å prøve å skille tidsseriene inn i disse komponentene, det vil si estimering av trendkomponenten og den uregelmessige komponenten. For å estimere trendkomponenten i en sesongmessig tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additivmodell, er det vanlig å bruke en utjevningsmetode, for eksempel å beregne det enkle glidende gjennomsnittet av tidsseriene. SMA () - funksjonen i 8220TTR8221 R-pakken kan brukes til å glatte tidsseriedata med et enkelt bevegelige gjennomsnitt. For å bruke denne funksjonen må vi først installere 8220TTR8221 R-pakken (for instruksjoner om hvordan du installerer en R-pakke, se Hvordan installere en R-pakke). Når du har installert 8220TTR8221 R-pakken, kan du laste inn 8220TTR8221 R-pakken ved å skrive: Du kan da bruke 8220SMA () 8221-funksjonen til å glatte tidsseriedataene. For å bruke SMA () - funksjonen må du angi rekkefølgen (span) for det enkle glidende gjennomsnittet, ved hjelp av parameteren 8220n8221. For eksempel, for å beregne et enkelt bevegelige gjennomsnitt av rekkefølge 5, setter vi n5 i SMA () - funksjonen. For eksempel, som omtalt ovenfor, vises tidsserien til dødsaldoen til 42 påfølgende konger i England, ikke-sesongmessig, og kan sannsynligvis beskrives ved hjelp av en additivmodell, siden tilfeldige svingninger i dataene er omtrent konstant i størrelse over tid: Således kan vi prøve å estimere trendkomponenten i denne tidsserien ved å utjevne ved hjelp av et enkelt bevegelige gjennomsnitt. For å glatte tidsseriene ved å bruke et enkelt glidende gjennomsnitt av rekkefølge 3, og plotte de glatte tidsseriedataene, skriver vi: Det ser fortsatt ut til å være ganske mange tilfeldige svingninger i tidssjiktene glattet ved hjelp av et enkelt glidende gjennomsnitt på rekkefølge 3. For å estimere trendkomponenten mer nøyaktig, vil vi kanskje prøve å utjevne dataene med et enkelt glidende gjennomsnitt av en høyere rekkefølge. Dette tar litt av prøve-og-feil, for å finne riktig mengde utjevning. For eksempel kan vi prøve å bruke et enkelt glidende gjennomsnitt av rekkefølge 8: Dataene jevnet med et enkelt glidende gjennomsnitt av rekkefølge 8 gir et tydeligere bilde av trendkomponenten, og vi kan se at de engelske kongers dødsår ser ut til å har gått ned fra om lag 55 år til rundt 38 år under regjering av de første 20 kongene, og deretter økt etter det til rundt 73 år ved slutten av regjeringen til den 40. konge i tidsseriene. Dekomponerende sesongdata En sesongbasert tidsserie består av en trendkomponent, en sesongkomponent og en uregelmessig komponent. Nedbrytning av tidsserien betyr å skille tidsseriene i disse tre komponentene: det vil si estimering av disse tre komponentene. For å estimere trendkomponenten og sesongbestanddelen av en sesongmessig tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additivmodell, kan vi bruke 8220decompose () 8221-funksjonen i R. Denne funksjonen anslår trend, sesongmessige og uregelmessige komponenter i en tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additiv modell. Funksjonen 8220decompose () 8221 returnerer et listobjekt som resultat der estimatene for sesongkomponenten, trendkomponenten og uregelmessig komponent lagres i navngitte elementer i listemodene, henholdsvis 8220seasonal8221, 8220trend8221 og 8220random8221. For eksempel, som omtalt ovenfor, er tidsserien av antall fødsler per måned i New York City sesongmessig med en topp hver sommer og gjennom hver vinter, og kan sannsynligvis beskrives ved hjelp av en additiv modell siden sesongmessige og tilfeldige svingninger synes å For å estimere trenden, sesongmessige og uregelmessige komponenter i denne tidsserien skriver vi: De estimerte verdiene for sesong-, trend - og uregelmessige komponenter lagres nå i variabler birthstimeseriescomponentsseasonal, birthstimeseriescomponentstrend og birthstimeseriescomponentsrandom. For eksempel kan vi skrive ut estimerte verdier av sesongkomponenten ved å skrive: De estimerte sesongfaktorene er gitt for månedene januar til desember, og er de samme for hvert år. Den største sesongfaktoren er for juli (ca. 1,46), og den laveste er for februar (ca. -2.08), noe som tyder på at det synes å være en topp i fødselene i juli og et trough i fødselen i februar hvert år. Vi kan plotte den estimerte trenden, sesongmessige og uregelmessige komponenter i tidsseriene ved å bruke 8220plot () 8221-funksjonen, for eksempel: Plottet ovenfor viser den opprinnelige tidsserien (topp), den estimerte trendkomponenten (andre fra toppen), Anslått sesongkomponent (tredje fra toppen), og estimert uregelmessig komponent (bunn). Vi ser at den estimerte trendkomponenten viser en liten nedgang fra ca 24 i 1947 til ca 22 i 1948, etterfulgt av en jevn økning fra da til til rundt 27 i 1959. Sesongjustering Hvis du har en sesongmessig tidsserie som kan beskrives ved bruk En tilleggsmodell, kan du sesongjustere tidsseriene ved å estimere sesongkomponenten, og trekke den estimerte sesongkomponenten fra de opprinnelige tidsseriene. Vi kan gjøre dette ved å anslå sesongkomponenten beregnet av 8220decompose () 8221-funksjonen. For eksempel å justere sesongjusteringen av antall fødsler per måned i New York City, kan vi estimere sesongkomponenten ved å bruke 8220decompose () 8221, og deretter trekke sesongkomponenten fra den opprinnelige tidsserien: Vi kan da plotte sesongjusterte tidsserier som bruker 8220plot () 8221-funksjonen ved å skrive: Du kan se at sesongvariasjonen er fjernet fra sesongjusterte tidsserier. Den sesongjusterte tidsserien inneholder nå bare trendkomponenten og en uregelmessig komponent. Prognoser som bruker eksponensiell utjevning Eksponensiell utjevning kan brukes til å lage kortsiktige prognoser for tidsseriedata. Enkel eksponensiell utjevning Hvis du har en tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additiv modell med konstant nivå og ingen sesongmessighet, kan du bruke enkel eksponensiell utjevning for å gjøre kortsiktige prognoser. Den enkle eksponensielle utjevningsmetoden gir en måte å estimere nivået på nåværende tidspunkt. Utjevning styres av parameteren alfa for estimering av nivået på det nåværende tidspunktet. Verdien av alfa ligger mellom 0 og 1. Verdier av alfa som er nær 0 betyr at liten vekt er plassert på de siste observasjonene når du lager prognoser for fremtidige verdier. For eksempel inneholder filen robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat totalt årlig nedbør i tommer for London, fra 1813-1912 (originale data fra Hipel og McLeod, 1994). Vi kan lese dataene inn i R og plotte den ved å skrive: Du kan se fra plottet at det er omtrent konstant nivå (gjennomsnittet forblir konstant på omtrent 25 tommer). De tilfeldige svingninger i tidsseriene ser ut til å være omtrent konstant i størrelse over tid, så det er sannsynligvis hensiktsmessig å beskrive dataene ved hjelp av en additivmodell. Dermed kan vi lage prognoser ved hjelp av enkel eksponensiell utjevning. For å lage prognoser ved hjelp av enkel eksponensiell utjevning i R, kan vi passe på en enkel eksponensiell utjevningsforutsigbar modell ved å bruke 8220HoltWinters () 8221-funksjonen i R. For å bruke HoltWinters () for enkel eksponensiell utjevning, må vi sette parameterne betaFALSE og gammaFALSE i HoltWinters () - funksjonen (beta - og gamma-parametrene brukes til Holt8217s eksponensiell utjevning, eller Holt-Winters eksponensiell utjevning, som beskrevet nedenfor). Funksjonen HoltWinters () returnerer en listevariabel, som inneholder flere navngitte elementer. For eksempel, for å bruke enkel eksponensiell utjevning for å lage prognoser for tidsserien av årlig nedbør i London, skriver vi: Utgangen fra HoltWinters () forteller oss at den estimerte verdien av alfa-parameteren er ca. 0,024. Dette er svært nær null, og forteller oss at prognosene er basert på både nyere og mindre nyere observasjoner (selv om det legges noe mer vekt på de siste observasjonene). Som standard gjør HoltWinters () bare prognoser for samme tidsperiode som dekkes av våre originale tidsserier. I dette tilfellet inkluderte vår originale tidsserie nedbør for London fra 1813-1912, så prognosene er også for 1813-1912. I eksemplet ovenfor har vi lagret utdataene fra HoltWinters () - funksjonen i listevariabelen 8220rainseriesforecasts22221. Prognosene laget av HoltWinters () lagres i et navngitt element i denne listevariabelen som heter 8220fitted8221, slik at vi kan få sine verdier ved å skrive: Vi kan plotte de opprinnelige tidsseriene mot prognosene ved å skrive: Plottet viser de opprinnelige tidsseriene i svart, og prognosene som en rød linje. Tidsserien av prognoser er mye jevnere enn tidsseriene til de opprinnelige dataene her. Som et mål for nøyaktigheten av prognosene, kan vi beregne summen av kvadratfeil for prognosefeilene, det vil si prognosefeilene for tidsperioden som dekkes av vår opprinnelige tidsserie. Sum-of-squared-feilene lagres i et navngitt element i listevariabelen 8220rainseriesforecasts8221 kalt 8220SSE8221, slik at vi kan få verdien ved å skrive: Det er her sum-of-squared-feilene er 1828.855. Det er vanlig i enkel eksponensiell utjevning å bruke den første verdien i tidsseriene som den opprinnelige verdien for nivået. For eksempel i tidsseriene for nedbør i London er den første verdien 23,56 (tommer) for nedbør i 1813. Du kan angi startverdien for nivået i HoltWinters () - funksjonen ved å bruke parameteren 8220l. start8221. For eksempel, for å lage prognoser med den opprinnelige verdien av nivået satt til 23,56, skriver vi: Som forklart ovenfor, utgjør HoltWinters () bare prognoser for tidsperioden dekket av de opprinnelige dataene, som er 1813-1912 for nedbør tidsserier. Vi kan lage prognoser for ytterligere tidspunkter ved å bruke 8220forecast. HoltWinters () 8221-funksjonen i R 8220forecast8221-pakken. For å bruke forecast. HoltWinters () - funksjonen må vi først installere 8220forecast8221 R-pakken (for instruksjoner om hvordan du installerer en R-pakke, se Hvordan installere en R-pakke). Når du har installert 8220forecast8221 R-pakken, kan du laste inn 8220forecast8221 R-pakken ved å skrive: Når du bruker forecast. HoltWinters () - funksjonen, sender du den forutsigbare modellen som du allerede har montert ved hjelp av HoltWinters () - funksjonen. For eksempel, i tilfelle av nedbørstidsserien lagret vi den prediktive modellen laget ved hjelp av HoltWinters () i variabelen 8220rainseriesforecasts22221. Du angir hvor mange flere tidspunkter du vil lage prognoser for ved å bruke 8220h8221 parameteren i forecast. HoltWinters (). For eksempel, for å lage en prognose for nedbør for årene 1814-1820 (8 flere år) ved bruk av forecast. HoltWinters (), skriver vi: The forecast. HoltWinters () - funksjonen gir deg prognosen for et år, et 80 prediksjonsintervall for prognosen, og et 95 prognoseintervall for prognosen. For eksempel er prognosen nedbør for 1920 omtrent 24,68 tommer, med et 95 prediksjonsintervall på (16,24, 33,11). For å plotte prognosene som er gjort av forecast. HoltWinters (), kan vi bruke 8220plot. forecast () 8221 funksjonen: Her prognosene for 1913-1920 er plottet som en blå linje, det 80 prediksjonsintervallet som et oransje skyggelagt område, og 95 prediksjonsintervall som et gult skyggelagt område. 8216-forhåndsmeldingsfeilene8217 beregnes som de observerte verdiene minus predikte verdier, for hvert tidspunkt. Vi kan bare beregne prognosefeilene for tidsperioden dekket av vår opprinnelige tidsserie, som er 1813-1912 for nedbørsdataene. Som nevnt ovenfor er et mål på nøyaktigheten av den prediktive modellen sum-of-squared-feilene (SSE) for prognosefeilene. Feilsøkingsfeilene i prøven lagres i det navngitte elementet 8220residuals8221 i listevariabelen returnert av forecast. HoltWinters (). Hvis den prediktive modellen ikke kan forbedres, bør det ikke være noen sammenheng mellom prognosefeil for etterfølgende spådommer. Med andre ord, hvis det er sammenhenger mellom prognosefeil for suksessive prognoser, er det sannsynlig at de enkle eksponensielle utjevningsprognosene kan forbedres ved hjelp av en annen prognostiseringsteknikk. For å finne ut om dette er tilfelle, kan vi få et korrelogram av prognoseproblemene for lags 1-20. Vi kan beregne et korrelogram av prognosefeilene ved å bruke 8220acf () 8221-funksjonen i R. For å angi maksimal lagring som vi vil se på, bruker vi parameteren 8220lag. max8221 i acf (). For eksempel, for å beregne et korrelogram av prognosefeilene for Londons nedbørsdata for lags 1-20, skriver vi: Du kan se fra prøvekorrelogrammet at autokorrelasjonen ved lag 3 bare berører signifikansgrensene. For å teste om det er signifikant bevis for ikke-null korrelasjoner ved lag 1-20, kan vi utføre en Ljung-Box-test. Dette kan gjøres i R ved hjelp av 8220Box. test () 8221, funksjonen. Maksimal lagring som vi vil se på, er spesifisert ved hjelp av parameteren 8220lag8221 i Box. test () - funksjonen. For eksempel, for å teste om det ikke er null-autokorrelasjoner på lags 1-20, for prognosefeilene for London nedbørsdata, skriver vi: Her er Ljung-Box-teststatistikken 17,4, og p-verdien er 0,6 , så det er lite bevis på ikke-null autokorrelasjoner i prognoseproblemene ved lags 1-20. For å være sikker på at den prediktive modellen ikke kan forbedres, er det også en god ide å sjekke om prognosefeilene normalt fordeles med gjennomsnittlig null og konstant varians. For å sjekke om prognosefeilene har konstant varians, kan vi lage en tidssplott av prognosefeilene i prøven: Plottet viser at prognosefeilene i proppen ser ut til å ha omtrent konstant variasjon over tid, selv om størrelsen på svingningene i Tidsserienes start (1820-1830) kan være litt mindre enn den på senere datoer (f. eks. 1840-1850). For å sjekke om prognosefeilene normalt fordeles med gjennomsnittlig null, kan vi plotte et histogram av prognosefeilene, med en overlaid normal kurve som har gjennomsnittlig null og samme standardavvik som fordeling av prognosefeil. For å gjøre dette kan vi definere en R-funksjon 8220plotForecastErrors () 8221, under: Du må kopiere funksjonen over til R for å kunne bruke den. Du kan da bruke plotForecastErrors () til å plotte et histogram (med overlaid normal kurve) av prognosefeilene for nedbørsprognose: Plottet viser at fordelingen av prognosefeil er omtrentlig sentrert på null, og er mer eller mindre normalt distribuert, selv om det ser ut til å være litt skjev til høyre i forhold til en normal kurve. Imidlertid er riktig skrå relativt liten, og det er så trolig at prognosefeilene normalt fordeles med gjennomsnittlig null. Ljung-Box-testen viste at det er lite bevis på ikke-null autokorrelasjoner i prognosefeilene, og fordelingen av prognosefeil ser ut til å være normalt fordelt med gjennomsnittlig null. Dette antyder at den enkle eksponensielle utjevningsmetoden gir en tilstrekkelig prediktiv modell for nedbør i London, som sannsynligvis ikke kan forbedres. Videre var forutsetningene om at 80 og 95-spådommene var basert på (at det ikke er noen autokorrelasjoner i prognosefeilene, og prognosefeilene er normalt fordelt med gjennomsnittlig null og konstant varians), sannsynligvis gyldige. Holt8217s eksponensiell utjevning Hvis du har en tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additivmodell med økende eller redusert trend og ingen sesongmessighet, kan du bruke Holt8217s eksponensielle utjevning for å gjøre kortsiktige prognoser. Holt8217s eksponensielle utjevning anslår nivået og skråningen på det nåværende tidspunktet. Utjevning styres av to parametere, alfa, for estimering av nivået på det nåværende tidspunktet, og beta for estimatet av helling b av trendkomponenten på det nåværende tidspunktet. Som med enkel eksponensiell utjevning har parametre alfa og beta verdier mellom 0 og 1, og verdier som er nær 0 betyr at liten vekt er plassert på de siste observasjonene når man lager prognoser for fremtidige verdier. Et eksempel på en tidsserie som sannsynligvis kan beskrives ved hjelp av en tilsetningsmodell med en trend og ingen sesongmessighet, er tidsseriene for den årlige diameteren av women8217s skjørt på hodet, fra 1866 til 1911. Dataene er tilgjengelige i filen robjhyndmantsdldatarobertsskirts. dat (originale data fra Hipel og McLeod, 1994). Vi kan lese inn og plotte dataene i R ved å skrive: Vi kan se fra plottet at det var en økning i hemdiameter fra ca 600 i 1866 til ca 1050 i 1880, og at etterpå ble hemdiameteren redusert til ca 520 i 1911 For å lage prognoser kan vi passe en forutsigbar modell ved hjelp av HoltWinters () - funksjonen i R. For å bruke HoltWinters () for Holt8217s eksponensielle utjevning, må vi sette parameteren gammaFALSE (gamma-parameteren brukes til Holt-Winters eksponensiell utjevning, som beskrevet nedenfor). For eksempel, for å bruke Holt8217s eksponensiell utjevning for å passe en forutsigbar modell for skjørtet diameter, skriver vi: Den anslåtte verdien av alpha er 0,84, og av beta er 1,00. Disse er begge høyt, og forteller oss at både estimatet av nåverdien av nivået og av helling b av trendkomponenten, er hovedsakelig basert på meget nylig observasjoner i tidsseriene. Dette gir god intuitiv følelse, siden nivå og helling av tidsseriene begge endres ganske mye over tid. Verdien av sum-of-squared-feilene for prognosefeilene er 16954. Vi kan plotte de opprinnelige tidsseriene som en svart linje med de prognostiserte verdiene som en rød linje på toppen av det ved å skrive: Vi kan se fra bildet at prognosene for prognosene er ganske gode med de observerte verdiene, selv om de har en tendens til å ligge bak de observerte verdiene litt. Hvis du ønsker det, kan du angi startverdiene for nivået og helling b av trendkomponenten ved å bruke 8220l. start8221- og 8220b. start8221-argumentene for HoltWinters () - funksjonen. Det er vanlig å sette startverdien til nivået til den første verdien i tidsseriene (608 for skjørtdataene) og den opprinnelige verdien av skråningen til den andre verdien minus den første verdien (9 for skjørtdataene). For eksempel, for å passe en forutsigbar modell til skjørtets data ved hjelp av Holt8217s eksponensielle utjevning, med innledende verdier på 608 for nivået og 9 for helling b av trendkomponenten, skriver vi: Som for enkel eksponensiell utjevning, kan vi lage prognoser for fremtidige tider som ikke dekkes av de opprinnelige tidsseriene ved å bruke prognosen. HoltWinters () - funksjonen i 8220forecast8221-pakken. For eksempel var våre tidsseriedata for skjørtbom i 1866 til 1911, slik at vi kan lage spådommer for 1912 til 1930 (19 flere datapunkter), og plotte dem ved å skrive: Prognosene vises som en blå linje med 80 prediksjon intervaller som et oransje skyggelagt område, og de 95 prediksjon intervaller som et gul skyggelagt område. Når det gjelder enkel eksponensiell utjevning, kan vi sjekke om den prediktive modellen kan forbedres ved å sjekke om prognoseproblemene i prøven viser ikke-null autokorrelasjoner ved lag 1-20. For eksempel, for skjørtets data, kan vi lage et korrelogram og utføre Ljung-Box-testen ved å skrive: Her viser korrelogrammet at prøveautokorrelasjonen for in-sample-prognosefeilene ved lag 5 overskrider signifikansgrensene. Vi forventer imidlertid at en av 20 autokorrelasjoner for de første tjue lagene vil overskride 95 signifikansgrenser ved en tilfeldighet alene. Faktisk, når vi utfører Ljung-Box-testen, er p-verdien 0,47, noe som indikerer at det er lite bevis på ikke-null autokorrelasjoner i prognoseproblemene ved lags 1-20. Når det gjelder enkel eksponensiell utjevning, bør vi også kontrollere at prognosefeilene har konstant varians over tid, og fordeles normalt med gjennomsnittlig null. Vi kan gjøre dette ved å lage en tidssplott av prognosefeil og et histogram av fordelingen av prognosefeil med en overlaid normal kurve: Tidsplanen av prognosefeil viser at prognosefeilene har omtrent konstant variasjon over tid. Histogrammet av prognosefeil viser at det er troverdig at prognosefeilene normalt fordeles med gjennomsnittlig null og konstant varians. Dermed viser Ljung-Box-testen at det er lite bevis på autokorrelasjoner i prognosefeilene, mens tidsdiagrammet og histogrammet av prognosefeil viser at det er troverdig at prognosefeilene normalt fordeles med gjennomsnittlig null og konstant varians. Derfor kan vi konkludere med at Holt8217s eksponensielle utjevning gir en tilstrekkelig prediktiv modell for skjørtet diametre, som sannsynligvis ikke kan forbedres på. I tillegg betyr det at antagelsene om at intervjuene mellom 80 og 95 var basert på sannsynligvis er gyldige. Holt-Winters eksponensiell utjevning Hvis du har en tidsserie som kan beskrives ved hjelp av en additiv modell med økende eller redusert trend og sesongmessighet, kan du bruke Holt-Winters eksponensielle utjevning for å gjøre kortsiktige prognoser. Holt-Winters eksponensiell utjevning anslår nivået, skråningen og sesongkomponenten på det nåværende tidspunktet. Utjevning styres av tre parametere: alfa, beta og gamma, for estimatene av nivået, helling b av trendkomponenten og sesongkomponenten henholdsvis på nåværende tidspunkt. Parametrene alpha, beta og gamma har alle verdier mellom 0 og 1, og verdier som er nær 0 betyr at relativt liten vekt plasseres på de siste observasjonene når man lager prognoser for fremtidige verdier. Et eksempel på en tidsserie som sannsynligvis kan beskrives ved hjelp av en tilsetningsmodell med en trend og sesongmessighet, er tidsserien av loggen med månedlig salg til souvenirbutikken på en strandby i Queensland, Australia (diskutert ovenfor): Å lage prognoser, kan vi passe en forutsigbar modell ved hjelp av HoltWinters () - funksjonen. For example, to fit a predictive model for the log of the monthly sales in the souvenir shop, we type: The estimated values of alpha, beta and gamma are 0.41, 0.00, and 0.96, respectively. The value of alpha (0.41) is relatively low, indicating that the estimate of the level at the current time point is based upon both recent observations and some observations in the more distant past. The value of beta is 0.00, indicating that the estimate of the slope b of the trend component is not updated over the time series, and instead is set equal to its initial value. This makes good intuitive sense, as the level changes quite a bit over the time series, but the slope b of the trend component remains roughly the same. In contrast, the value of gamma (0.96) is high, indicating that the estimate of the seasonal component at the current time point is just based upon very recent observations. As for simple exponential smoothing and Holt8217s exponential smoothing, we can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that: We see from the plot that the Holt-Winters exponential method is very successful in predicting the seasonal peaks, which occur roughly in November every year. To make forecasts for future times not included in the original time series, we use the 8220forecast. HoltWinters()8221 function in the 8220forecast8221 package. For example, the original data for the souvenir sales is from January 1987 to December 1993. If we wanted to make forecasts for January 1994 to December 1998 (48 more months), and plot the forecasts, we would type: The forecasts are shown as a blue line, and the orange and yellow shaded areas show 80 and 95 prediction intervals, respectively. We can investigate whether the predictive model can be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20, by making a correlogram and carrying out the Ljung-Box test: The correlogram shows that the autocorrelations for the in-sample forecast errors do not exceed the significance bounds for lags 1-20. Furthermore, the p-value for Ljung-Box test is 0.6, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20. We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram (with overlaid normal curve): From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assum e that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk